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抛物线部分

文章发布时间:2015/5/28 11:19:18


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抛物线部分

 

【典型例题】

[1] 如图所示,F为抛物线的焦点,A42)为抛物线内一定点,P为抛物线上一动点,的最小值为8

1)求抛物线的方程;

2)若  O为坐标原点,问是否存在点M,使过点M的动直线与抛物线交于BC两点。且,证明你的结论。

解:1)由抛物线性质可知

故抛物线方程为

2)若斜率存在,设过M的直线方程为,显然,直线交抛物线于BC

   

动直线方程为  

 

[2] 已知抛物线的准线与轴交于M点,过M作直线与抛物线交于AB两点,若AB的垂直平分线与轴交于E)。

1)求的取值范围;

2能否是正三角形?若能,求的值;若不能,请说明理由。

解:1)由题意得直线,代入,得

,则,且

设方程两根分别为AB两点的横坐标,则其中点坐标为

AB的垂直平分线方程为

,得

2)若为正三角形,则点EAB的距离

,得

 

[3] 已知抛物线C,点A),如果抛物线C上到点A距离最近的是抛物线C的顶点,那么的取值范围是(     

A.     B.     C.     D.

解法一:从方程角度看命题的等价转化

方程组只有一解方程3

上只有一个解

由(3)有两个解,故

解法二:从函数角度看命题的等价转化

函数(当时,有最小值

函数(在定义域的左端点取最小值)

这样只须令二次函数的对称轴位于原点的左侧,即

解法三:从不等式角度看命题的转化

关于xy的不等式4)(对一切满足的实数成立,且时,等号成立)关于的不等式5)(在上成立,且时等号成立)

由于(5)的解集是“两根之外”,因此应在大根之外,故另一根

 

[4] 已知抛物线过动点M)且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点AB

1)求的取值范围;

2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求面积的最大值。

解:1)将代入,得

设直线与抛物线的两个不同的交点坐标为A),B

,又

所以

因为,所以

解得

2)设AB的垂直平分线交AB于点Q,令坐标,则由中点坐标公式

所以

为等腰,故

因此

最大面积为

 

[5] 如图,直线相交于M,点,以AB为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等,若为锐角三角形,,且,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程。

解法一:依题意知,曲线段C是以N为焦点,以为准线的抛物线的一段,其中AB分别为曲线C的端点,以x轴,MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,设曲线C的方程为

其中,且M),N

,得

 

由①、②得:,将之代入①得:

由三角形AMN是锐角三角形知,所以,

又由点B在曲线段C上,得:

则曲线段C的方程为:

解法二:建系,并确定C是抛物线的一段,作,垂足分别为EDF,则

   

为锐角三角形,故

故,曲线段C的方程为:

注:此法根据抛物线定义确定曲线段方程的形式,根据图形应用条件直接确定参数

 

[6] y轴的负半轴上任取一点A0m),过点A作抛物线)的切线,切点C,交轴于点BF为抛物线的焦点。

1)证明:

2)延长CF交抛物线于另一点D,连接AD,则能否为钝角,若是钝角,求出m的取值范围,若不是,加以证明。

解:1)抛物线的焦点为F

设切点C),则切线AC的方程为

,得   B

得,,即A0),由,则

 

2)设CD方程为,由

,则

由(1)知

为钝角,则

由点CAD不共线,则

只需

,故

所以能为钝角,此时m的取值范围为

 

[7] 是一常数,如图,过点Q2p0)的直线与抛物线交于相并两点AB,以线段AB为直径作⊙HH为圆心),试证抛物线顶点O在⊙H上,并求当⊙H的面积最小时,直线AB的方程。

解法一:

从而

,则

O点必在⊙H

H)是AB的中点,则

,从而时,⊙H面积最小,此时

解法二:分别消去

AB所在圆方程:

显然原点O在上面圆上,下同解法一。

 

[8] 设正方形ABCD的外接圆方程为),CD点所在直线的斜率为

1)求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线ACBD的斜率;

2)若在x轴上方的AB两点在一条以原点为顶点以x轴对称轴的抛物线上,求此抛物线的方程及直线的方程。

解:1)由

MAMB的斜率满足

2)设MBMA的倾斜角分别为,则

再设,则

设抛物线方程为,由于AB两点在抛物线上,则

*抛物线方程为,又A点坐标为(11),且A点关于M30)的对称点C的坐标是(),直线的方程为

 

【模拟试题】

1. 过(01)作直线,使它与抛物线仅有一个公共点,这样的直线有(   

    A. 1    B. 2    C. 3     D. 4

2. 直线与抛物线有且仅有一个公共点是直线与抛物线相切的(   

A. 充分不必要条件                          B. 必要不充分条件

C. 充要条件                                     D. 不充分不必要条件

3. 在抛物线中,以()为中点的弦的方程为(   

A.                                    B.

C.                                    D.

4. 过抛物线的焦点F作弦,则弦的中点的轨迹方程是       

5. 若动点Pxy)在抛物线上移动,则P与点()的连线的中点的轨迹方程是      

6. 过抛物线的顶点,任作两条垂直的弦OAOB

1)求证:直线AB恒过一定点;

2)求AB中点M的轨迹方程。

7. 已知⊙M,⊙N,动圆P与⊙M、⊙N均外切。

1)求动圆圆心P的轨迹C的方程;

2)延长PN与曲线C交于另一点Q,求的最小值;

3)是否存在直线,使得PQ的中点R在直线上的射影S满足PSQS?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由。

 

 

 

 

 

 


【试题答案】

1. C    2. B    3. C    4.     5.

6. 解:(1)设,由,则直线AB的斜率为

,故AB方程为

整理得*

,即

,故(*)即=0

,则,故AB恒过定点(0

2)设AB中点Mxy),AB斜率

(由AB恒过定点())

化简得点M的轨迹方程为

7. 解:(1)设动圆P的半径为,依题意

两式相减得,故点P的轨迹为以MN为焦点,焦距4,实轴长为2的双曲线右支,故C的方程:

2)当PQ斜率不存在时,易求得

PQ斜率存在时,设,代入双曲线方程并整理得

PQ与双曲线右支交于两点的充要条件是

N为焦点,则PQ为双曲线的焦点弦,故

 

(由)故最小值为6

3)直线存在时,PSQS,则点R的距离

    ,故,则

故当时,这样的直线存在,当时,这样的直线不存在

注:3)中若,则

时,

时,

故当时,这样的直线存在

时,这样的直线不存在。


1、自己不做出点样子,人家想拉你一把都不知你的手在哪里。  2、你若将过去抱的太紧,怎么能腾出手来拥抱现在?  3、人最值得高兴的事:父母健在、知己两三、盗不走的爱人。其他都是假象,别太计较。  4、时间,让深的东西越来越深,让浅的东西越来越浅。  5、人生中最永恒的幸福就是平凡,最长久的拥有需懂得珍惜。  6、真的,理想的伴侣要补足对方的缺点,而不是互犯同一个缺点。  7、人生不是要按别人的想法

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